Информация о задаче

Задача 54968

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол. Cтороны треугольника, заключающие этот угол, относятся как ${\frac{m}{n}}$ . Найдите отношение площади ромба к площади треугольника.

Подсказка

Стороны ромба отсекают от треугольника подобные ему треугольники с коэффициентами подобия, равными ${\frac{n}{m+n}}$ и ${\frac{m}{m+n}}$ .

Решение

Диагональ ромба, проведённая из общей с треугольником вершины, является биссектрисой треугольника. Поэтому она делит сторону в отношении ${\frac{m}{n}}$ .

Стороны ромба отсекают от треугольника подобные ему треугольники с коэффициентами подобия ${\frac{n}{m+n}}$ и ${\frac{m}{m+n}}$ . Поэтому их площади равны ${\frac{n^{2}}{(m+n)^{2}}}$ ^.S и ${\frac{m^{2}}{(m+n)^{2}}}$ ^.S, где S — площадь данного треугольника. Значит, площадь ромба равна

S - $\displaystyle {\frac{n^{2}}{(m+n)^{2}}}$ ^.S - $\displaystyle {\frac{m^{2}}{(m + n)^{2}}}$ ^.S = $\displaystyle {\frac{2mn}{(m+n)^{2}}}$ ^.S.

Ответ

${\frac{2mn}{(m + n)^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3024