Информация о задаче

Задача 54996

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на стороны AB, BC и CA. Перпендикуляры соответственно равны l, m, n. Вычислите площадь треугольника ABC, если углы BAC, ABC и ACB соответственно равны $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ .

Подсказка

Проведите через точку P прямые, параллельные сторонам треугольника. Они разбивают треугольник ABC на 6 частей, три из которых — треугольники. Если их площади S₁, S₂, S₃, то S_ABC = ( $\sqrt{S_{1}}$ + $\sqrt{S_{2}}$ + $\sqrt{S_{3}}$ )².

Решение

Проведём через точку P прямые, параллельные сторонам треугольника ABC. Они разобьют треугольник ABC на шесть частей, три из которых — треугольники с углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и высотами l, m, n. Если площади этих треугольников равны соответственно S₁, S₂ и S₃, то

S_ABC = ( $\displaystyle \sqrt{S_{1}}$ + $\displaystyle \sqrt{S_{2}}$ + $\displaystyle \sqrt{S_{3}}$ )².

Поскольку

S₁ = $\displaystyle {\frac{l^{2}({\rm ctg }\alpha + {\rm ctg }\beta)}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{l^{2}\sin (\alpha+\beta)}{2\sin \alpha \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{l^{2}\sin (180^{\circ}-\gamma)}{2\sin \alpha \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{l^{2}\sin \gamma}{2\sin \alpha \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{l^{2}\sin^{2}\gamma}{2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}}$ ,

S₂ = $\displaystyle {\frac{m^{2}\sin \alpha}{2\sin \gamma \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{m^{2}\sin^{2} \alpha}{2\sin \gamma \sin \beta \sin \alpha}}$ , S₃ = $\displaystyle {\frac{n^{2}\sin \beta}{2\sin \alpha \sin \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{n^{2}\sin \beta}{2\sin \alpha \sin \gamma \sin \beta}}$ ,

то

S_ABC = ( $\displaystyle \sqrt{S_{1}}$ + $\displaystyle \sqrt{S_{2}}$ + $\displaystyle \sqrt{S_{3}}$ )² = $\displaystyle {\frac{(l\sin \gamma + m\sin \alpha + n \sin \beta )^{2}}{2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}}$ .

Ответ

${\frac{(l\sin \gamma + m\sin \alpha + n \sin \beta )^{2}}{2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3052