Информация о задаче

Задача 55013

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD точка E делит пополам сторону CD, биссектриса угла ABC пересекает в точке O отрезок AE. Найдите площадь четырёхугольника OBCE, зная, что AD = a, DE = b, $\angle$ ABO = $\alpha$ .

Подсказка

Продолжите AE до пересечения с прямой BC и примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

Поскольку $\angle$ ABC = 2 $\alpha$ и CD = 2DE = 2b, то

S_ABCD = 2ab sin 2 $\displaystyle \alpha$ .

Пусть K — точка пересечения прямых BC и AE. Поскольку треугольники DEA и CEK равны, то

S_CEK = S_DEA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin 2 $\displaystyle \alpha$ ,

S_ABK = S_ABCD = 2ab sin 2 $\displaystyle \alpha$ .

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{OK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{BK}{BK + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{a + b}}$ .

Поэтому

S_BOK = $\displaystyle {\frac{OK}{AK}}$ S_ABK = $\displaystyle {\frac{2a^{2}b\sin 2\alpha}{a + b}}$ ,

S_OBCE = S_BOK - S_CEK = $\displaystyle {\frac{2a^{2}b\sin 2\alpha}{a + b}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{ab(3a - b)\sin 2\alpha}{2(a+b)}}$ .

Ответ

${\frac{ab(3a - b)\sin 2\alpha}{2(a + b)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3069