Информация о задаче

Задача 55019

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём ${\frac{CD}{BC}}$ = $\alpha$ ( $\alpha$ < ${\frac{1}{2}}$ ). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

Подсказка

Выразите площади трапеции ACEF и треугольника ADC через площадь треугольника ABC.

Решение

Обозначим BC = x. Тогда

CD = $\displaystyle \alpha$ x, DE = CD = $\displaystyle \alpha$ x, CE = 2 $\displaystyle \alpha$ x, BE = (1 - 2 $\displaystyle \alpha$ )x,

S_FBE = (1 - 2 $\displaystyle \alpha$ )²S_ABC,

S_ACEF = (1 - (1 - 2 $\displaystyle \alpha$ )²)S_ABC = 4 $\displaystyle \alpha$ (1 - $\displaystyle \alpha$ )S_ABC,

S_ADC = $\displaystyle {\frac{CD}{BC}}$ S_ABC = $\displaystyle \alpha$ S_ABC.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{ACEF}}{S_{\Delta ADC}}}$ = 4(1 - $\displaystyle \alpha$ ).

Ответ

4(1 - $\alpha$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3075