ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55037
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C1, B1 и A1 так, что треугольник A1B1C1 – правильный. Отрезок BB1 пересекает сторону C1A1 в точке O, причём  BO/OB1 = k.  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A1B1C1.


Подсказка

Найдите отношение перпендикуляров, опущенных из точек B и B1 на прямую A1C1.


Решение

  Пусть I – центр треугольника A1B1C1. Поскольку  ∠A1IC1 = 120°, то четырёхугольник A1B1C1I – вписанный. Поэтому углы A1BI и C1BI равны как опирающиеся на равные хорды, то есть BI – биссектриса угла B.
  Следовательно, I является также центром треугольника ABC. Значит, при повороте на 60° вокруг I треугольники A1BC1, B1CA1 и C1AB1 переходят друг в друга и поэтому равны.
  Если Q – точка пересечения отрезков CC1 и A1B1, то  CQ/QB1 = BO/OB1 = k.   Опустим из точек B и B1 перпендикуляры BM и B1N на прямую A1C1. Тогда треугольники BMO и B1NO подобны,  BM/B1N = BO/OB1 = k.  Поэтому  SA1C1B = kSA1B1C1.
  Значит,  SABC = (1 + 3k)SA1B1C1.


Ответ

1 + 3k.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3093

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .