Задача 55040

Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁.
Найдите отношение площади треугольника A₁B₁C₁ к площади треугольника ABC, если   ^AB/_A1B1 = .

Подсказка

cos∠C = .

Решение

  Обозначим  ∠C = ∠A = α,   S_ABC = S.  Треугольник A₁CB₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом  cos α = ^A₁B₁/_AB = .  Поэтому
S_A1CB1 = S_C1AB1 = ^S/₃.
  Треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом  ^BA₁/_BA = cos(180° – 2α) = – cos 2α = 1 – 2cos²α = ¹/₃.
  Поэтому  S_A1BC1 = ^S/₉.  Следовательно,  S_A1B1C1 = S_ABC – 2S_A1CB1 – S_A1BC1 = S – ^2S/₃ – ^S/₉ = ^2S/₉.

Ответ

2 : 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3096