Информация о задаче

Задача 55041

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A₁B₁C₁ как ${\frac{9}{2}}$ . Найдите отношение периметра треугольника A₁B₁C₁ к периметру треугольника ABC.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

Обозначим BC = a, AC = AB = b, S_ABC = S. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AB_{1}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ , $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{CA}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ .

Тогда

S_A₁B₁C₁ = S_ABC - 2S_A₁CB₁ - S_B₁AC₁ =

= S - 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ ^.S - $\displaystyle {\frac{b^{2}S}{(a + b)^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{abS}{(a+b)^{2}}}$ .

Таким образом, имеем уравнение

$\displaystyle {\frac{ab}{(a+b)^{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ , или 2a² - 5ab + 2b² = 0.

Отсюда находим: b = ${\frac{a}{2}}$ (что невозможно) или b = 2a. Тогда периметр треугольника ABC равен 5a,

AA₁ = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}- CA^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{15}}{2}}$ .

Пусть D — середина B₁C₁. Поскольку

$\displaystyle {\frac{AD}{AA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB_{1}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ,

то

A₁D = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ AA₁ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{15}}{6}}$ , B₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ BC = $\displaystyle {\frac{2a}{3}}$ , A₁B₁ = $\displaystyle \sqrt{A_{1}D^{2}+ B_{1}D^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{19}}{6}}$ .

Следовательно, периметр треугольника A₁B₁C₁ равен a $\left(\vphantom{\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}}\right.$ ${\frac{2}{3}}$ + ${\frac{\sqrt{19}}{3}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}}\right)$ .

Ответ

${\frac{2+\sqrt{19}}{15}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3097