Информация о задаче

Задача 55046

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка L является серединой стороны BC, точка M является серединой AD, точка N является серединой стороны AB. Найдите отношение площади треугольника LMN к площади четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Пусть K — середина стороны CD. Тогда NLKM — параллелограмм, и его площадь равна половине площади данного четырёхугольника.

Решение

Пусть K — середина стороны CD, $\alpha$ — угол между диагоналями AC и BD четырёхугольника ABCD. Поскольку NL и MK — средние линии треугольников ABC и ADC, то NLKM — параллелограмм с углом $\alpha$ между соседними сторонами.

Поскольку

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin $\displaystyle \alpha$ ,

S_NLKM = NL^.MN sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ AC^.BD sin $\displaystyle \alpha$ ,

то

S_NLKM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD, S_NLM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_NLKM.

Следовательно, S_LMN = ${\frac{1}{4}}$ S_ABCD.

Ответ

${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3102