Задача 55055

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка K, причём  AK = 1,  KC = 3,  а на стороне AB взята точка L, причём  AL : LB = 2 : 3.  Пусть Q – точка пересечения прямых BK и CL. Площадь треугольника AQC равна 1. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную из вершины B.

Решение

  Проведём через точку K прямую, параллельную CL, до пересечения со стороной AB в точке M. По теореме Фалеса  AM : ML = AK : KC = 1 : 3.  Значит,
ML = ¾ AL = ½ LB.  Снова по теореме Фалеса  KQ = ½ BQ = ¹/₃ BK.
  Следовательно,  S_ABC = 3S_AQC = 3,  а искомая высота равна  ^2S_ABC/_AC = ³/₂.

Ответ

1,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3111