Задача 55057

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD даны основания  AD = 8  и  BC = 4.  На продолжении стороны BC выбрана такая точка M, что прямая AM отсекает от трапеции треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади трапеции. Найдите CM.

Подсказка

Найдите отношение  CK : KD,  где K – точка пересечения AM и CD.

Решение

Обозначим  S = S_ABCD.  Пусть K – точка пересечения прямой AM со стороной CD. Тогда по условию  S_AKD = ^S/₄.
  Поскольку  AD = 2BC,  то  S_ACD = 2S_ABC = ^2S/₃,  S_AKC = ^2S/₃ – ^S/₄ = ^5S/₁₂.
  Поэтому  ^CK/_KD = ^S_AKC/_SAKD = ⁵/₃.
  Из подобия треугольников AKD и MKC следует, что CM = AD·^CK/_KD = ⁴⁰/₃.

Ответ

⁴⁰/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3113