Информация о задаче

Задача 55071

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

A, B, C, D — последовательные вершины параллелограмма. Точки E, F, P, H лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD. Отрезок AE составляет ${\frac{1}{3}}$ стороны AB, отрезок BF составляет ${\frac{1}{3}}$ стороны BC, а точки P и H делят пополам стороны, на которых они лежат. Найдите отношение площади четырёхугольника EFPH к площади параллелограмма ABCD.

Подсказка

S_BEF = ${\frac{BE}{AB}}$ ^. ${\frac{BF}{BC}}$ S_ABC.

Решение

Пусть S_ABCD = S. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S, S_BEF = $\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BF}{BC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ S.

Аналогично

S_PDH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S, S_FCP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ S, S_EAH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ S.

Следовательно,

S_EFPH = S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{72}}$ S.

Ответ

${\frac{37}{72}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3127