Задача 55073

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и BC взяты точки M и N соответственно, причём  AB = 5AM,  BC = 3BN.  Отрезки AN и CM пересекаются
в точке O. Найдите отношение площадей треугольников AOC и ABC.

Решение

  Через точку A проведём прямую, параллельную BC, до пересечения с прямой CO в точке P. По теореме Фалеса  PN = ¹/₅ BN = ¹/₁₀ BC,  CO = ¹⁰/₁₁ CM.
  Поэтому  S_AOC = ¹⁰/₁₁ S_AMC = ¹⁰/₁₁·¹/₅ S_ABC = ¹⁰/₁₁ S_ABC.

Ответ

²/₁₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3129