Информация о задаче

Задача 55081

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На продолжениях медиан AK, BL и CM треугольника ABC взяты точки P, Q и R, причём KP = ${\frac{1}{2}}$ AK, LQ = ${\frac{1}{2}}$ BL и MR = ${\frac{1}{2}}$ CM. Найдите площадь треугольника PQR, если площадь треугольника ABC равна 1.

Подсказка

Найдите коэффициент подобия треугольников KML и PQR.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Треугольник KML подобен треугольнику ACB с коэффициентом ${\frac{1}{2}}$ , а треугольник PQR подобен треугольнику KLM с коэффициентом

$\displaystyle {\frac{OP}{OK}}$ = $\displaystyle {\frac{OK + KP}{OK}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{3}AK + \frac{1}{2}AK}{\frac{1}{3}AK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ .

Следовательно,

S_PQR = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ S_KLM = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{16}}$ .

Ответ

${\frac{25}{16}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3137