Информация о задаче

Задача 55104

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через середину каждой диагонали выпуклого четырёхугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник разбивается таким образом на четыре равновеликие части.

Подсказка

Докажите, что площадь каждой из указанных частей равна четверти площади данного четырёхугольника. (Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.)

Решение

Пусть M, N, K и L середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, E и F — середины его диагоналей AC и BD; прямая, проходящая через точку E параллельно BD, пересекает прямую, проходящую через точку F параллельно AC, в точке P. Тогда S_LPM = S_LEM. Поэтому

S_ALPM = S_ALM + S_LPM = S_ALM + S_LEM = S_ALEM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AE^.LM sin $\displaystyle \alpha$ ,

где $\alpha$ — угол между диагоналями AC и BD.

Поскольку LM — средняя линия треугольника ABD, то LM = ${\frac{1}{2}}$ BD. Следовательно,

S_ALPM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABCD.

Аналогично для четырёхугольников BMPN, CNPK и DKPL.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3160