Информация о задаче

Задача 55113

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 2 : 3. Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC, если острый угол BAC равен $\alpha$ .

Подсказка

Треугольник MAN подобен треугольнику BAC с коэффициентом | cos $\alpha$ |.

Решение

Пусть точка N находится на стороне AB. Треугольник MAN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos $\alpha$ . Поэтому

S_MAN = S_ABC^.cos² $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

S_BMN = S_BAM - S_MAN = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ S_ABC - S_ABCcos² $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\cos ^{2} \alpha - \frac{2}{5}}\right.$ cos² $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\cos ^{2} \alpha - \frac{2}{5}}\right)$ S_ABC.

Если точка N расположена на продолжении стороны AB за точку B, то аналогично получим, что

S_BMN = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{5} - \cos ^{2}\alpha}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ - cos² $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{5} - \cos ^{2}\alpha}\right)$ S_ABC.

Ответ

$\left\vert\vphantom{\cos ^{2}\alpha - \frac{2}{5}}\right.$ cos² $\alpha$ - ${\frac{2}{5}}$ $\left.\vphantom{\cos ^{2}\alpha - \frac{2}{5}}\right\vert$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3169