Задача 55137

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Охитин С.

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

а) Докажите что три красных четырёхугольника на этом рисунке также равновелики.

б) Найдите площадь одного четырёхугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Решение

а) Введём обозначения, как показано на рисунке 1. Заметим, что треугольники AA₀C₀ и AA₀C₁ равновелики (каждый из них составлен из треугольника AA₀B₀ и одного из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание AA₀, поэтому их вершины C₀ и C₁ равноудалены от прямой AA₀, т.е. прямые AA₀ и C₁C₀ параллельны. Аналогично BB₀ || A₁A₀ и CC₀ || B₁B₀.

Рассмотрим трапецию AA₀C₀C₁ (рис.2). Её диагонали пересекаются в точке B₀, а продолжения боковых сторон — в точке B. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины D и E её оснований AA₀ и C₁C₀, а поскольку эта прямая параллельна A₁A₀, точка B₀ — середина отрезка A₁A. Поэтому S(AB₀C) = S(B₀A₁C). Следовательно, площади четырёхугольников AB₀A₀B₁ и CA₀C₀A₁ равны. Аналогично докажем, что и третий красный четырёхугольник BC₀B₀C₁ имеет такую же площадь.

б) Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади s, выразим двумя способами отношение :

= = = = = .

Итак, s удовлетворяет уравнению

s² - 2s - 4 = 0,

из которого находим, что s = 1 + .

Ответ

1 + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3212