Задача 55138

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Старк М.В.

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD выбираются произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Подсказка

Докажите, что диагонали образовавшегося четырёхугольника пересекаются в их внутренней точке.

Решение

Пусть L, M, N, K — середины отрезков BF, CE, AF и DE соответственно. Поскольку LN — средняя линия треугольника AFB, то отрезок LN пересекает отрезок EF в его середине O. Аналогично KM пересекает отрезок EF в той же точке O. Поэтому отрезки LN и KM пересекаются в их внутренней точке O. Следовательно, LMNK — выпуклый четырёхугольник (возможно, вырождающийся в треугольник или отрезок).

Пусть угол между прямыми AB и CD равен . Тогда

S_LMNK = LN ^. MK sin = AB ^. CD sin,

т.е. площадь четырёхугольника LMNK не зависит от выбора точек E и F.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3213