Задача 55142

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Автор: Газарян Т.

Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины пересекаются в одной точке.

Подсказка

1) Геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD (BC || AD) или на её сторонах, и таких, что S_XAB = S_XCD, есть отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

2) Пусть ABCDEF — данный шестиугольник; AB || DE, BC || EF, CD || AF. Докажите, что треугольники ACE и BDF равновелики.

Решение

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD (BC || AD) или на её сторонах, и таких, что S_XAB = S_XCD, есть отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

Действительно, пусть P и Q — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, h - высота трапеции (рис.1). Если точка X принадлежит отрезку PQ, то XP и XQ — медианы треугольников BXC и AXD, поэтому

S_XBP = S_XCP, S_XAQ = S_XDQ.

Кроме того,

S_ABPQ = ^. h = ^. h = S_CPQD.

Следовательно, S_XAB = S_XCD.

Пусть теперь X — точка внутри трапеции ABCD, для которой S_XAB = S_XCD (рис.2). Предположим, что X не лежит на прямой PQ. Поскольку S_XBP = S_XCP и S_XAQ = S_XDQ, то

S_ABPXQ = S_CPXQD = S_ABCD.

Если точки X и C лежат по одну сторону от прямой PQ, то

S_ABCD = S_ABPQ + S_PXQ = S_ABCD + S_PXQ,

что невозможно. Аналогично для случая, когда точки X и C лежат по разные стороны от прямой PQ.

Пусть теперь ABCDEF — данный шестиугольник; AB || DE, BC || EF, CD || AF. Докажем, что треугольники ACE и BDF равновелики. В самом деле, пусть прямые AB и EF пересекаются в точке M, прямые AB и CD — в точке N, прямые CD и EF — в точке K (рис.2). Обозначим

= x,  = y,  = z.

Тогда

S_AME = x(1 - z)S_MNK, S_ANC = y(1 - x)S_MNK, S_CKE = z(1 - y)S_MNK.

Поэтому

S_ACE = S_MNK - S_AME - S_ANC - S_CKE =

= (1 - x(1 - z) - y(1 - x) - z(1 - y))S_MNK = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S_MNK.

Учитывая, что

= = x,  = = y,  = = z

(что вытекает из параллельности противоположных сторон данного шестиугольника), аналогично получим, что

S_BDF = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S_MNK.

Следовательно, S_ACE = S_BDF.

Пусть P, G, Q, H — середины отрезков AF, AB, CD и DE соответственно; O — точка пересечения отрезков PQ и GH (рис.3). Тогда, по ранее доказанному,

S_AOC = S_DOF, S_AOE = S_BOD, S_ACE = S_BDF.

Поэтому

S_BOF = S_BDF - S_DOF - S_BOD =

= S_ACE - S_AOC - S_AOE = S_OCE.

Следовательно, точка O принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон BC и EF.

Другие решения: см. Квант, N5, 1986, с.33

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3217