|
|
 |
Условие
Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
Подсказка
Из двух наклонных, проведённых к прямой из одной точки больше та, проекция которой больше.
Решение
Пусть проекция H точки A на прямую BC принадлежит стороне BC треугольника ABC. Если точка M лежит между точками H и C, то HC > HM. Поэтому AM < AC.
Если M лежит между точками B и H, то BH > MH. Поэтому AM < AB.
Если M и H совпадают, то AM = AH < AC.
Аналогично рассматривается случай, когда точка H лежит на продолжении стороны BC.
Если AM — высота треугольника ABC, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что AM не высота. Тогда один из углов AMB или AMC — тупой. Пусть это угол AMB. Тогда в треугольнике AMB сторона AB — наибольшая, т.к. она лежит против наибольшего угла. Аналогично рассматривается второй случай.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3501 |
