Задача 55149

Тема:    [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Подсказка

Если M — точка, лежащая внутри треугольника ABC, то что MB + MC < AB + AC.

Решение

Пусть M — точка, лежащая внутри треугольника ABC. Докажем, что

MB + MC < AB + AC.

Для этого продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N и применим неравенство треугольника к треугольникам ABN и MNC.

Аналогично докажем, что

MB + MA < AC + BCи MA + MC < AB + BC.

Cложив почленно три неравенства, получим, что

2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + AC).

Отсюда следует нужное неравенство.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3503