|
|
 |
Условие
Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
Подсказка
Пусть M – точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Примените неравенство треугольника сначала к треугольникам ABC, ADC, BAD и BCD, а затем – к треугольникам AMC, BMC, AMD, AMB.
Решение
Пусть M – точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Применим неравенство треугольника к треугольникам ABC, ADC, BAD и BCD: AC < AB + BC, AC < DA + DC, BD < AB + AD, BD < CB + CD. Сложив эти четыре неравенства, получим: 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + AD).
Запишем неравенства треугольника для треугольников AMB, BMC, CMD и AMD: AM + MB > AB, BM + MC > BC, MC + MD > CD, MA + MD > AD. Сложив эти неравенства, получим: 2(AC + BD) > AB + BC + CD + AD.
