Информация о задаче

Задача 55172

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Общие четырехугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC разбивает выпуклый четырёхугольник ABCD на две равновеликие части. Докажите, что если AB > AD, то BC < DC.

Подсказка

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а угол между этими сторонами в первом треугольнике больше соответствущего угла во втором, то третья сторона второго треугольника меньше соответствующей стороны первого.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD. Равновеликие треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC. Поэтому их высоты BN и DK равны. Тогда из равенства прямоугольных треугольников DKM и BNM следует, что BM = MD.

В треугольниках AMD и AMB сторона AM — общая, DM = MB, а AD < AB. Поэтому $\angle$ AMD < $\angle$ AMB. Тогда $\angle$ BMC < $\angle$ CMD.

В треугольниках BMC и CMD сторона CM — общая, DM = MB, а $\angle$ BMC < $\angle$ CMD. Следовательно, BC < DC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3526