|
|
 |
Условие
Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного этими отрезками, не меньше половины периметра исходного многоугольника.
Подсказка
Докажите, что сумма всех n диагоналей данного n-угольника (n > 3), соединяющих его вершины через одну, больше периметра данного n-угольника.
Решение
Для треугольника утверждение очевидно. Пусть число n сторон данного многоугольника больше 3. Проведём в нём все n диагоналей, соединяющих его вершины через одну. Каждая из этих диагоналей вдвое больше параллельного ей отрезка, соединяющего середины двух соседних сторон многоугольника. Поэтому достаточно доказать, что сумма этих n диагоналей больше периметра данного многоугольника.
Для доказательства последнего утверждения заметим, что даже сумма кусочков этих диагоналей, примыкающих к вершинам многоугольника, больше периметра данного многоугольника.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3529 |
