Информация о задаче

Задача 55191

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше $\sqrt{2}$ .

Подсказка

Предположите противное.

Решение

Пусть a $\leqslant$ b $\leqslant$ c — стороны треугольника, $\varphi$ — угол между сторонами a и b. Предположим, что b < $\sqrt{2}$ . Тогда и a < $\sqrt{2}$ . Пусть S — площадь треугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab^.sin $\displaystyle \varphi$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle \sqrt{2}$ sin $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle \leqslant$ 1.

А это противоречит условию задачи.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3545