Информация о задаче

Задача 55196

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
Темы:	[	Неравенства с медианами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть AA₁ — медиана треугольника ABC. Докажите, что угол A острый тогда и только тогда, когда AA₁ > ${\frac{1}{2}}$ BC.

Подсказка

Постройте окружность на стороне BC как на диаметре.

Решение

Первый способ.

Построим на стороне BC как на диаметре окружность. Пусть AA₁ > ${\frac{1}{2}}$ BC. Тогда вершина A лежит вне этой окружности. Поэтому отрезок BC виден из точки A под острым углом.

Обратно, если угол A — острый, то точка A лежит вне окружности. Поэтому AA₁ > ${\frac{1}{2}}$ BC.

Второй способ.

Пусть AA₁ > ${\frac{1}{2}}$ BC = BA₁. Тогда в треугольнике AA₁B против большей стороны AA₁ лежит больший угол. Значит, $\angle$ BAA₁ < $\angle$ B. Аналогично докажем, что $\angle$ СAA₁ < $\angle$ С. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ BAA₁ + $\displaystyle \angle$ CAA₁ < $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ C = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC.

Отсюда находим, что $\angle$ BAC < 90^o.

Обратно, пусть угол BAC — острый. Предположим, что AA₁ $\leqslant$ ${\frac{1}{2}}$ BC. Тогда аналогично предыдущему докажем, что $\angle$ BAC $\geqslant$ 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3550