Задача 55203

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

Подсказка

Площадь четырёхугольника ABCD равна полусумме площадей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB.

Решение

Пусть a, b, c, d – последовательные стороны четырёхугольника ABCD, S – его площадь. Тогда
2S = S_ABC + S_CDA + S_BCD + S_ABD ≤ ½ (ab + bc + cd + ad) = ½ (a + c)(b + d) ≤ ⅛ ((a + c) + (b + d))² = 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3557