Информация о задаче

Задача 55209

Темы:	[	Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть m_a и m_b — медианы, проведенные к сторонам a и b треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что m²_a + m²_b > ${\frac{9}{8}}$ c².

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон.

Первый способ.

Пусть M — точка пересечения медиан AA₁ и BB₁ треугольника ABC, C₁ — середина AB,

BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = m_a, BB₁ = m_b.

Достроим треугольник AMB до параллелограмма, удвоив медиану MC₁. Тогда

2AM² + 2BM² = AB² + 4MC²₁ > AB²,

или

2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ m²_a + 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ 4m²_b > c².

Отсюда следует, что

m²_a + m²_b > $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{8}}$ c².

Второй способ.

Поскольку ${\frac{2}{3}}$ m_a + ${\frac{2}{3}}$ m_b > c, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ (m²_a + 2m_am_b + m²_b) > c²,

а т.к. 2m_am_b $\leqslant$ m²_a + m²_b, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ (2m²_a + 2m²_b) > c².

Отсюда следует, что

m²_a + m²_b > $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{8}}$ c².


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3563