Информация о задаче

Задача 55213

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.

Докажите, что основание треугольника меньше 2, а высота меньше 1.

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — биссектрисы треугольника ABC, O — их точка пересечения, BP — высота треугольника. Тогда

AC < AO + OC < AA₁ + CC₁ = 2, BP $\displaystyle \leqslant$ BB₁ < 1.

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BP < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.1 = 1.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3567