Информация о задаче

Задача 55214

Темы:	[	Неравенства для площади треугольника	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше ${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Подсказка

Если данный треугольник остроугольный, то его наибольший угол не меньше 60^o.

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — биссектрисы треугольника ABC, BP и CQ — его высоты, S — площадь.

Предположим сначала, что треугольник ABC — остроугольный, а $\angle$ A — его наибольший угол. Тогда

60^o $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \angle$ A < 90^o, BP $\displaystyle \leqslant$ BB₁ < 1, CQ $\displaystyle \leqslant$ CC₁ < 1.

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CQ^. $\displaystyle {\frac{BP}{\sin \angle A}}$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.1^.1^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Если $\angle$ A $\geqslant$ 90^o, то

AC < CC₁ < 1, AB < BB₁ < 1.

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.AB sin $\displaystyle \angle$ A $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.AB < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3568