Информация о задаче

Задача 55224

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки соответственно C₁, A₁ и B₁. Известно, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что сумма MA₁ + MB₁ + MC₁ не превосходит наибольшей стороны треугольника ABC.

Подсказка

${\frac{MA_{1}}{AA_{1}}}$ = ${\frac{S_{\Delta BMC}}{S_{\Delta ABC}}}$ .

Решение

Поскольку

$\displaystyle {\frac{MA_{1}}{AA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BMC}}{S_{\Delta ABC}}}$ , $\displaystyle {\frac{MB_{1}}{BB_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMC}}{S_{\Delta ABC}}}$ , $\displaystyle {\frac{MC_{1}}{CC_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMB}}{S_{\Delta ABC}}}$ ,

то

$\displaystyle {\frac{MA_{1}}{AA_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{MB_{1}}{BB_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{MC_{1}}{CC_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BMC}+S_{\Delta AMC}+S_{\Delta AMB}}{S_{\Delta ABC}}}$ = 1.

Пусть d — длина наибольшей стороны треугольника ABC. Тогда

1 = $\displaystyle {\frac{MA_{1}}{AA_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{MB_{1}}{BB_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{MC_{1}}{CC_{1}}}$ $\displaystyle \geqslant$

$\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\frac{MA_{1}}{d}}$ + $\displaystyle {\frac{MB_{1}}{d}}$ + $\displaystyle {\frac{MC_{1}}{d}}$ = $\displaystyle {\frac{MA_{1} + MB_{1} + MC_{1}}{d}}$ .

Следовательно, MA₁ + MB₁ + MC₁ $\leqslant$ d.

Из доказанного утверждения следует, что периметр тругольника A₁B₁C₁ не превосходит удвоенной наибольшей стороны треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3578