Задача 55228

Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Подсказка

Если ABCD — выпуклый четырёхугольник, то BC + AD < AC + BD.

Решение

Рассмотрим все разбиения данных точек на пары разноцветных. Этих разбиений конечное число, поэтому найдётся разбиение (назовем его минимальным), для которого сумма длин отрезков, заданных парами точек этого разбиения, наименьшая. Покажем, что тогда эти отрезки не будут пересекаться.

В самом деле, если бы два отрезка K₁C₁ и K₂C₂ с разноцветными концами пересеклись (будем обозначать красные точки буквами K, а синие — C), то мы смогли бы выбрать разбиение с меньшей суммой длин отрезков, заменив диагонали K₁C₁ и K₂C₂ выпуклого четырёхугольника K₁C₂C₁K₂ на его противоположные стороны K₁C₂ и K₂C₁. Тогда

K₁C₂ + K₂C₁ < K₁C₁ + K₂C₂,

что противоречит выбору минимального разбиения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3582
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	4
Название	Разные задачи на неравенство треугольника
Тема	Неравенство треугольника (прочее)
задача
Номер	09.023