Задача 55237

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

Подсказка

Пусть x – проекция меньшего катета на гипотенузу. Выразите квадрат указанной медианы через x и h.

Решение

  Пусть  CD = h  – высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Обозначим  AD = x.  Тогда

   

  Если M – середина большего катета BC, то

     

причём равенство достигается, когда  4x² = ,  то есть при  x = .  В этом случае  BD = h,  то есть  BD > AD  и  BC > AC.  Следовательно, BC – больший катет.

Ответ

^3h/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3591