Информация о задаче

Задача 55241

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две высоты тругольника равны 10 и 6. Докажите, что третья высота меньше 15.

Подсказка

Если стороны треугольника равны a, b и c, а соответствующие высоты — h_a, h_b и h_c, то ah_a = bh_b = ch_c и b - a < c.

Решение

Обозначим стороны треугольника через a, b и c, а соответствующие высоты — h_a, h_b и h_c. Пусть h_a = 10, h_b = 6. Докажем, что h_c < 15.

Поскольку ah_a = bh_b = ch_c, то

b = $\displaystyle {\frac{ah_{a}}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{5a}{3}}$ , h_c = $\displaystyle {\frac{ah_{a}}{c}}$ = $\displaystyle {\frac{10a}{c}}$ .

Стороны треугольника связаны неравенством b - a < c, или ${\frac{5a}{3}}$ - a < c. Отсюда находим, что ${\frac{a}{c}}$ < ${\frac{3}{2}}$ . Следовательно,

h_c = $\displaystyle {\frac{10a}{c}}$ < 10^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ = 15.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3595