Информация о задаче

Задача 55245

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Туркевич Э.

Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся:

а) точкой пересечения медиан;

б) точкой пересечения биссектрис;

в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB, BMC, AMC равны, то треугольник ABC — правильный.

Подсказка

а) Предположите, что AB > BC и воспользуйтесь формулой S = pr.

б) Точка M совпадает с центром равностороннего треугольника с вершинами в центрах указанных окружностей.

Предположите, что BC > AC и воспользуйтесь тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Решение

а) Поскольку площади треугольников AMB, BMC и AMC равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC), то из формулы S = pr следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1).

Допустим, что AB > BC. Тогда угол ADB — тупой (D — середина стороны AC). Поэтому AM > MC. Следовательно, периметр треугольника AMB больше периметра треугольника BMC, что невозможно.

б) Пусть O₁, O₂, O₃ — центры вписанных окружностей треугольников AMB, BMC и AMC. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM — биссектриса угла ABC, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM в одной и той же точке (рис.2). Аналогично для остальных пар окружностей.

Поскольку биссектрисы треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника O₁O₂O₃, то точка M — центр треугольника O₁O₂O₃. Поэтому, например, $\angle$ BMC = 120^o, а т.к. $\angle$ BMC = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ A, то $\angle$ A = 60^o. Аналогично $\angle$ B = 60^o.

в) Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и $\angle$ CAM = $\angle$ CBM, то AD = BE. Поэтому CD < CE.

С другой стороны, поскольку BC > AC, то $\angle$ BAC > $\angle$ ABC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ MCA = 90^o - $\displaystyle \angle$ BAC < 90^o - $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ BCM.

Тогда

CD = r cos $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ MCA > r cos $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BCM = CE,

что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше AC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3599