Информация о задаче

Задача 55247

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Подсказка

Через основание биссектрисы проведите прямую, параллельную одной из данных сторон треугольника; воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.

Решение

Первый способ.

Обозначим стороны BC и AC треугольника ABC через a и b соответственно, а его биссектрису CD — через x (в данном случае a = 10, b = 15).

Через точку D проведём прямую, параллельную стороне BC, до пересечения со стороной AC в точке M (рис.1). Тогда

$\displaystyle \angle$ MDC = $\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ DCM.

Поэтому треугольник DCM — равнобедренный. Из подобия треугольников ADM и ABC находим, что

DM = BC^. $\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{a+b}}$

(т.к. ${\frac{AD}{BD}}$ = ${\frac{AC}{BC}}$ = ${\frac{b}{a}}$ ). Следовательно,

x = CD < CM + DM = 2DM = $\displaystyle {\frac{2ab}{a+b}}$ = 2^.10^. $\displaystyle {\frac{15}{10+15}}$ = 12.

Второй способ.

Обозначим стороны BC и AC треугольника ABC через a и b соответственно, а его биссектрису CD — через x (в данном случае a = 10, b = 15). По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{BD}{DA}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ .

Через точки B и D проведём прямые, перпендикулярные биссектрисе CD, до пересечения с прямой AC в точках K и L соответственно (рис.2). Тогда треугольник BCK — равнобедренный (его высота и биссектриса, проведённые из вершины C, совпадают). Поэтому

AK = AC - CK = AC - BC = b - a, $\displaystyle {\frac{KL}{LA}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{DA}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ .

Следовательно,

KL = AK^. $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ = $\displaystyle {\frac{a(b-a)}{a+b}}$ ,

CL = CK + KL = CB + KL = a + $\displaystyle {\frac{a(b-a)}{a+b}}$ = $\displaystyle {\frac{2ab}{a+b}}$ = 2^.10^. $\displaystyle {\frac{15}{10+15}}$ = 12,

x = CD < CL = 12.

Третий способ.

Обозначим стороны BC и AC треугольника ABC через a и b соответственно, а его биссектрису CD — через x (в данном случае a = 10, b = 15), $\angle$ ACB = 2 $\alpha$ (рис.3). Тогда

x = $\displaystyle {\frac{2ab\cos \alpha}{a+b}}$ .

Следовательно,

СВ = x < $\displaystyle {\frac{2ab}{a+b}}$ = 2^.10^. $\displaystyle {\frac{15}{10+15}}$ = 12.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3601


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М77