Информация о задаче

Задача 55248

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.

Подсказка

Пусть O — центр, R — радиус окружности, OE = a (рис.1). Тогда S_ABCD = ${\frac{2R}{a}}$ S_OBD.

Решение

Пусть O — центр, R — радиус окружности, OE = a (рис.1). Тогда

S_ABCD = S_ADC + S_ABC = $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$ S_ODE + $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$ S_OBE =

= $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$ (S_ODE + S_OBE) = $\displaystyle {\frac{2R}{a}}$ S_OBD.

Следовательно, площадь четырёхугольника ABCD наибольшая, когда наибольшая площадь треугольника OBD.

Треугольник OBD — равнобедренный,

OB = OD = R, S_OBD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²sin $\displaystyle \varphi$ ,

где $\varphi$ = $\angle$ BOD. Угол $\varphi$ тем меньше, чем меньше хорда BD, или чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр OH.

Поскольку OH $\leqslant$ OE = a, то наименьшее значение $\varphi$ = $\varphi_{0}^{}$ характеризуется тем, что отрезки OH и OE совпадают, что соответствует хорде BD, перпендикулярной AC. В этом случае cos ${\frac{\varphi _{0}}{2}}$ = ${\frac{a}{R}}$ .

Итак, остается найти наибольшее значение площади треугольника OBD при $\varphi_{0}^{}$ $\leqslant$ $\varphi$ < $\pi$ . Возможны следующие два случая.

1) Если $\varphi_{0}^{}$ $\leqslant$ ${\frac{\pi}{2}}$ , то максимум достигается при $\varphi$ = ${\frac{\pi}{2}}$ . В этом случае

$\displaystyle {\frac{a}{R}}$ = cos $\displaystyle {\frac{\varphi_{0}}{2}}$ $\displaystyle \geqslant$ cos $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , a $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\frac{R}{\sqrt{2}}}$ ,

а искомая хорда BD, стягивающая дугу в 90^o, должна отстоять от центра на расстояние ${\frac{R}{\sqrt{2}}}$ , т.е. должна касаться окружности с центром O радиуса ${\frac{R}{\sqrt{2}}}$ .

2) Если же $\varphi_{0}^{}$ > ${\frac{\pi}{2}}$ (что будет при a < ${\frac{R}{\sqrt{2}}}$ ), то максимум площади достигается при $\varphi$ = $\varphi_{0}^{}$ . В этом случае искомая хорда BD должна быть перпендикулярна диаметру AC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3602