Информация о задаче

Задача 55250

Темы:	[	Неравенства с высотами	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

Подсказка

В предположении, что такой треугольник существует найдите его третью сторону и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Предположим, что такой треугольник существует. Пусть h_a, h_b, h_c — его высоты, опущенные на стороны a, b, c соответственно (a = 7, b = 2); S — площадь этого треугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ah_a = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bh_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ch_c.

Отсюда h_c = ${\frac{bh_{b}}{c}}$ и h_c = ${\frac{ah_{a}}{c}}$ . Поэтому

h²_c = h_c^.h_c = $\displaystyle {\frac{abh_{a}h_{b}}{c^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{abh^{2}_{c}}{c^{2}}}$

Значит,

c² = ab = 14, c = $\displaystyle \sqrt{14}$ .

Поскольку a + c = 2 + $\sqrt{14}$ < 7, такой треугольник не существует.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3604