Информация о задаче

Задача 55252

Темы:	[	Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что AB = A₁B₁, AC = AC₁, а $\angle$ A > $\angle$ A₁. Докажите, что BC > B₁C₁.

Решение

Первый способ.

Поскольку $\angle$ A > $\angle$ A₁, а величина каждого из этих углов между 0^o и 180^o, то cos $\angle$ A < cos $\angle$ A₁. По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² - 2AB^.AC cos $\displaystyle \angle$ A =

= A₁B²₁ + A₁C²₁ - 2A₁B₁^.A₁C₁cos $\displaystyle \angle$ A >

> A₁B²₁ + A₁C²₁ - 2A₁B₁^.A₁C₁cos $\displaystyle \angle$ A₁ > B₁C²₁.

Следовательно, BC > B₁C₁.

Второй способ.

Рассмотрим такую точку D, чтобы треугольник ABD был равен треугольнику A₁B₁C₁, а точки D и C были бы расположены по одну сторону от прямой AB. Тогда, т.к. $\angle$ BAC > $\angle$ B₁A₁C₁ = $\angle$ BAD, то луч AD будет расположен между лучами AB и AC.

Проведём биссектрису AM угла CAD. Она также будет расположена между сторонами угла BAC, поэтому точка E её пересечения с прямой BC будет расположена между точками B и C.

Треугольники ADE и ACE равны по двум сторонам и углу между ними, значит, DE = CE. Применяя неравенство треугольника к треугольнику BDE, получим, что

BC = BE + EC = BE + DE > BD = B₁C₁.

Докажем обратное утверждение, т.е., если треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что AB = A₁B₁, AC = AC₁, а BC > B₁C₁, то $\angle$ A > $\angle$ A₁.

Допустим, что при данных условиях $\angle$ A $\leqslant$ $\angle$ A₁. Если $\angle$ A < $\angle$ A₁, то по ранее доказанному BC < B₁C₁. Если же $\angle$ A = $\angle$ A₁, то из первого признака равенства треугольников следует, что BC = B₁C₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3606