Информация о задаче

Задача 55286

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит внутри равностороннего треугольника ABC. Вычислите площадь этого треугольника, если известно, что AM = BM = 2, а CM = 1.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику BCM.

Решение

Поскольку AM = CM, то точка M лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Поэтому CM — биссектриса угла BCA. Обозначим AB = BC = AC = x. По теореме косинусов из треугольника BCM находим, что

4 = x² + 1 - 2x $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , или x² - x $\displaystyle \sqrt{3}$ - 3 = 0.

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x²sin 60^o = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{3} + 3\sqrt{15}}{8}}$ .

Ответ

${\frac{9\sqrt{3} + 3\sqrt{15}}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4033