Информация о задаче

Задача 55290

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около трапеции описана окружность. Основание составляет с боковой стороной угол $\alpha$ , а с диагональю — угол $\beta$ . Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около трапеции ABCD с основаниями AD и BC и диагоналями AC и BD, $\angle$ ADC = $\alpha$ , $\angle$ CAD = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ ACD = 180^o - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ),

AC = 2R sin $\displaystyle \alpha$ , DC = 2R sin $\displaystyle \beta$ , BC = 2R sin( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ );

S_ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.CD sin $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \alpha$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) =

= 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ );

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BC^.sin $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \alpha$ ^.2R sin( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ )sin $\displaystyle \beta$ =

= 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ).

Следовательно,

S_ABCD = S_ACD + S_ABC = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ (sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) + sin( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ )) =

= 4R²sin² $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \beta$ = 2R²sin² $\displaystyle \alpha$ sin 2 $\displaystyle \beta$ .

Ответ

${\frac{\pi}{2\sin ^{2}\alpha \sin 2\beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4037