Условие
В треугольнике
ABC сторона
AB равна
,
сторона
BC равна
. Точка
M лежит на стороне
AB , точка
O
лежит на стороне
BC , причём прямые
MO и
AC параллельны. Отрезок
BM в 1,5 раза длиннее отрезка
AM . Биссектриса угла
BAC пересекает
прямую
MO в точке
P , лежащей между точками
M и
O , причём радиус
окружности, описанной около треугольника
AMP , равен
.
Найдите сторону
AC .
Решение
Обозначим
BAC = a ,
R — радиус окружности,
описанной около треугольника
AMP (
R = ).
Тогда
AM = 2· 
AB = 
,
MPA = PAC = BAP = 
.
Поэтому
MP = AM = , MP = 2R sin .
Отсюда находим, что
sin = 
=
.
Тогда
1 - cos a = 2 sin2 =
2()2 =
,
cos a = 1 - 2 sin 2 = 1 - =
= 
.
Поэтому
a = 45
o .
По теореме косинусов
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC cos a.
Обозначим
AC = x . Получим квадратное уравнение
=
+ x2 -
2· · x· ,
или
x2 - 5x + 
= 0.
Его корни:
x = 
или
x = 
. По условию задачи
MP < OM = 
AC.
Поэтому подходит только второй корень.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4041 |
