Информация о задаче

Задача 55334

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC точка D выбрана на стороне AB так, что $\angle$ DCA = 45^o. Точка D₁ симметрична точке D относительно прямой BC, а точка D₂ симметрична точке D₁ относительно прямой AC и лежит на продолжении отрезка BC за точку C. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = $\sqrt{3}$ CD₂, AB = 4.

Подсказка

$\angle$ BCD = 30^o, четырёхугольник DBD₁C — ромб.

Решение

Пусть Q и P — точки пересечения отрезков DD₁ и D₁D₂ c прямыми BC и AC. Обозначим $\angle$ ACB = $\gamma$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ D₁CP = $\displaystyle \angle$ D₂CP = $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \gamma$ ,

$\displaystyle \angle$ QCD₁ = $\displaystyle \angle$ QCD = $\displaystyle \angle$ ACB - $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \gamma$ - 45^o.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ QCD₁ + $\displaystyle \angle$ D₁CP + $\displaystyle \angle$ D₂CP = 180^o,

то

$\displaystyle \gamma$ - 45^o + 2 $\displaystyle \gamma$ = 180^o.

Отсюда находим, что $\gamma$ = 75^o, а $\angle$ DCB = 30^o.

Обозначим CD₂ = x. Тогда

DC = D₁C = D₂C = x, BC = x $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

QC = DC cos 30^o = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{3}}{2}}$ , BQ = BC - QC = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{3}}{2}}$ = QC.

Поэтому DBD₁C — ромб. Тогда

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ DCB = 30^o,

$\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ ABC - $\displaystyle \angle$ ACB = 180^o - 30^o - 75^o = 75^o.

Поэтому треугольник ABC — равнобедренный, BC = AB = 4. Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 4.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4081