Информация о задаче

Задача 55351

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M — середина отрезка AB, O — произвольная точка. Докажите, что $\overrightarrow{OM}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ ).

Подсказка

$\overrightarrow{OM}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{BM}$ .

Решение

Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{AM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ , $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ .

получим:

2 $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ ) = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4500