Информация о задаче

Задача 55355

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M — середина отрезка AB, M₁ — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что $\overrightarrow{MM}_{1}^{}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{AA_{1}}$ + $\overrightarrow{BB_{1}}$ ).

Подсказка

$\overrightarrow{MM_{1}}$ = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AA_{1}}$ + $\overrightarrow{A_{1}M_{1}}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{BB_{1}}$ + $\overrightarrow{B_{1}M_{1}}$ .

Решение

Сложив почленно векторные равенства

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = $\displaystyle \overline{MA}$ + $\displaystyle \overline{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overline{A_{1}M_{1}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}M_{1}}$ ,

получим, что

2 $\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = ( $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{A_{1}M_{1}}$ + $\displaystyle \overline{B_{1}M_{1}}$ ) =

= $\displaystyle \overrightarrow{0}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4504