Задача 55367

Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC , O — центр описанной окружности. Докажите, что = + + .

Решение

Рассмотрим сумму векторов + = . Отрезок OK — диагональ ромба OAKB . Поэтому OK AB . Следовательно, OK || CH . Тогда, если + = , то точка M принадлежит высоте, проходящей через вершину C . Таким образом, если + + = 1 , то точка H1 принадлежит каждой высоте треугольника ABC . Следовательно, точки H1 и H совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4516