Информация о задаче

Задача 55369

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

Подсказка

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overline{AA}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overline{BB}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overline{CC}_{1}^{}$ = $\displaystyle \overline{0}$ .

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы данного треугольника ABC. От произвольной точки K отложим вектор $\overrightarrow{KM}$ = $\overrightarrow{AA}_{1}^{}$ , от точки M — вектор $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{CC}_{1}^{}$ , от точки N — вектор $\overrightarrow{NP}$ = $\overrightarrow{CC}_{1}^{}$ . Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{KM}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{NP}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AA}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB}_{1}^{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC}_{1}^{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Поэтому точки K и P совпадают. Следовательно, треугольник KMN — искомый.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4518