Информация о задаче

Задача 55370

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC составлен треугольник KMN, а из медиан KK₁, MM₁ и NN₁ треугольника KMN — треугольник PQR. Докажите, что третий треугольник подобен первому и найдите коэффициент подобия.

Подсказка

$\overrightarrow{PQ}$ = $\overrightarrow{KK_{1}}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{KN}$ + $\overrightarrow{KM}$ ).

Ответ

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC а KK₁, MM₁, NN₁ — медианы треугольника MNK, причём

$\displaystyle \overrightarrow{NK}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{KM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ .

Если PQR — такой треугольник, что

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ = $\displaystyle \overrightarrow{KK_{1}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{QR}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NN_{1}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{RP}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ ,

то

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ = $\displaystyle \overrightarrow{KK_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{KN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{KM}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BC}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB})}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ ) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BC}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB})}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (3 $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ) = - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ $\displaystyle \overline{AB}$ .

Аналогично для векторов $\overrightarrow{QR}$ и $\overrightarrow{RP}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4519