Информация о задаче

Задача 55380

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Прасолов В.В.

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где O — центр треугольника.

Подсказка

Через точку M проведите прямые, параллельные сторонам треугольника.

Решение

Проведем через точку M прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника, как показано на рисунке. Тогда K₁, K₂, K₃ -- середины отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ соответственно. Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ ).

Кроме того,

$\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ , $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ .

Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}... ...htarrow{MA_{1}}) + (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right.$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}... ...htarrow{MA_{1}}) + (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4529


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1983
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М807а