Задача 55384

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC поведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если  ∠CAA₁ = ∠CBB₁,  то  AC = BC.

Подсказка

Точки A, B, A₁ и B₁ лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку  ∠B₁AA₁ = ∠A₁BB₁,  то точки A, B, A₁ и B₁ лежат на одной окружности. Параллельные прямые AB и A₁B₁ высекают на ней равные хорды AB₁ и BA₁. Значит,  AB₁ = BA₁.  Следовательно,  AC = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4703