Задача 55395

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более удалена от от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что  AB² = AC·AD.

Решение

  Пусть K – вторая точка пересечения прямой BD с окружностью. Тогда точки B и K симметричны относительно диаметра окружности, проходящего через точку A. Следовательно,  ∠ACB = ∠AKB = ∠ABK.
  Поэтому треугольники ACB и ABD подобны по двум углам. Следовательно,  AB : AC = AD : AB,  AB² = AC·AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4714